Statistika Matematika Ekspektasi, Fungsi Pembangkit Momen dan Transformasi Peubah Acak I. Peubah Acak dan Distribusi Peubah acak misalkan merupakan fungsi yang memetakan setiap unsur dari sampel ke bilangan real. Misalkan peubah acak menyatakan banyaknya barang yang rusak, unsurnya itu barang yang rusak, tapi dinyatakan dalam bilangan real yaitu 1,7, atau 5 barang rusak. Peubah acak dari sampel dapat digunakan dalam ilmu statistika untuk beragam hal, setelah mengetahui distribusinya untuk statistical quality control, decision making, prediksi. Dari hal seperti ini jika anda mau mempelajari lebih advanced akan sangat berguna contohnya untuk membuat dalam produksi pabrik dari 1 juta barang hanya 1 yang rusak. 1. Peubah Acak Diskrit Peubah acak diskrit adalah peubah acak yang ruang sampelnya dapat dihitung dan terbatas. Misal barang rusak, angka dadu yang keluar, koin yang muncul. Semuanya kan terbatas, barang rusak terbatas pada banyak barang yang diproduksi saja, dadu terbatas hasilnya 1 sampai 6 saja. Peubah acak diskrit memiliki fungsi massa peluang atau disebut pmf (probability mass function), pmf dari sebuah peubah acak adalah: Maksudnya pmf adalah peluang bahwa peubah acak akan bernilai dengan D adalah himpunan kejadian yang mungkin. Dan jika dijumlahkan peluang semua kejadian yang mungkin akan sama dengan 1: Dan juga nilai peluang pmf selalu: Lalu yang dimaksud dengan fungsi distribusi atau cdf untuk peubah acak diskrit adalah: Dengan 2. Peubah Acak Kontinu Peubah acak kontinu adalah peubah acak yang ruang sampelnya tidak dapat dihitung dan bisa sampai tak hingga kemungkinannya. Misal uang asuransi, waktu tunggu, ketinggian permukaan. Karena nilai dari sampel-sampel tersebut misal asuransi bisa saja $19312,323 akan terlalu banyak angka yang mungkin. Sampai banyaknya sampel bisa sampai tak hingga. Peubah acak kontinu memiliki fungsi kepadatan peluang atau disebut pdf (probability density function). Pdf untuk peubah acak kontinu bentuknya adalah: Dapat dikatakan pdf dari peubah acak merupakan fungsi dari peubah acak tersebut. fungsi dari . Dan yang perlu diingat bahwa sifat dari pdf itu sendiri adalah: Jumlah peluangnya di semua range kejadian yang mungkin adalah 1 dan peluang di suatu interval lebih besar atau sama dengan nol. Lalu yang dimaksud dengan fungsi distribusi atau cdf untuk peubah acak kontinu adalah: Contoh: jika peubah acak menyatakan biaya kerusakan suatu rumah.. maka peluang bahwa dia rusak di antara $10,000 dan $50,000 adalah: Dengan pdf dari fungsi tersebut misal nya: Tinggal kita substitusikan saja untuk mencari nilai peluangnya: II. Transformasi Peubah Acak Kontinu (1 variabel) Masalah transformasi peubah acak kontinu akan banyak dipakai pada matematika keuangan dan engineering. Misalkan sudah diketahui peubah acak pdf dan cdf nya, jika kita punya peubah acak yang merupakan fungsi dari , kita dapat mengetahui pdf dan cdf dari . Guna mengetahui pdf dan cdf dari peubah acak bisa digunakan untuk prediksi, pengambilan keputusan, quality control. Contohnya yang simpel begini: Jika kita sudah tahu distribusi temperature ruangan, lalu kelembaban adalah fungsi dari temperature, kita dapat mencari distribusi dari kelembaban.. dengan mengetahui distribusinya kita bisa memperkirakan kelembaban di bagian ruangan tertentu berapa.. untuk waktu kedepan bagaimana.. dari sini informasinya bisa jadi pertimbangan untuk langkah selanjutnya.. emang kelembaban bisa mempengaruhi keputusan apa? Ya kalau lembab ga baik untuk wanita.. bisa kemerahan.. Contoh 1: Cara Biasa Misalkan peubah acak memiliki cdf: Misalkan ada peubah acak maka mencari cdfnya: Untuk : Sehingga cdf dapat dituliskan: Dari cdf kita bisa turunkan untuk mendapatkan pdf nya: Sehingga pdfnya dapat dituliskan sebagai berikut: Cara Rumus Jacobian Atau bisa juga mencari pdf dengan cara menggunakan rumus langsung yang ada Jacobian: Dari cdf diatas untuk mencari pdf ( ) kita hanya perlu menurunkan yang mengandung variabel peubah acaknya saja: Pada masalah transformasi ini peubah acak . Lalu mencari atau : Liat perhatikan baik-baik itu dan ( ) sebenarnya sama saja tapi penggunaan notasi pada rumus itu menyebabkan kita harus menggunakan notasi yang tepat. Misal untuk notasi turunan tapi notasi tidak dipakai pada pdf yang dipakai adalah karena akan berbeda nanti fungsinya dengan ( ). Substitusikan semua ke rumus: Jika dibentuk model cdf nya, sama saja dengan dicari oleh cara pertama diatas yang lambat: Contoh 2: Cara Biasa Misal peubah acak memiliki pdf: Misalkan ada peubah acak Sekarang tinggal mengintegralkan pdf untuk mendapatkan cdf : Lalu diturunkan: Pdf dari adalah: Support untuk pdf adalah karena support pdf adalah dan sehingga jika supportnya dikuadratkan: Ingat karena nilai sampai jika dikuadratkan nilainya sama dengan nilai dari 0 ke 1 dikuadratkan. Seperti fungsi jika ingat fungsi punya nilai minimum di sehingga suport untuk adalah . Cara Rumus Jacobian Atau bisa juga mencari pdf dengan cara menggunakan rumus langsung yang ada Jacobian: Perhatikan karena ( ) merupakan fungsi yang bernilai konstan maka (√ ) hanya bernilai 1. Jika dibentuk model pdf nya, sama saja dengan dicari oleh cara pertama diatas yang lambat: III. Transformasi Peubah Acak Diskrit Yang menyenangkan dari peubah acak diskrit mencari pmf untuk peubah acak transformasinya itu sangatlah mudah. Misalkan kita tertarik untuk mengetahui pmf dari peubah acak yang merupakan fungsi atau transformasi dari peubah acak . Ada rumus cepatnya untuk dapat pmf dari : Darimana rumus tersebut? perhatikan baik-baik: Contoh Misalkan adalah peubah acak diskrit yang menyatakan lantunan koin sampai muncul gambar kepala. Kita ingin mengetahui pmf dari peubah acak yang menyatakan banyaknya lantunan sebelum muncul kepala. Dengan pmf dari peubah acak : Menyatakan bahwa peluang munculnya kepala pada lantunan ke adalah . / dengan Transformasinya: Lalu pmf dari : IV. Ekspektasi Peubah Acak Ekspektasi adalah nilai yang diharapkan. Bisa jadi rata-ratanya atau misal kita berinvestasi berapa ekspektasi return kita, atau profit kita. Kenapa perlu mempelajari cara mencari ekspektasi? Karena dari ekspektasi kita bisa mencari tahu data yang kita punya berdistribusi apa? Guna untuk membuat keputusan dan lain sebagainya. 1. Peubah Acak Diskrit 2. Peubah Acak Kontinu Nilai dan diganti menjadi support yang dalam bentuk fungsi di pdf nya. Misal: V. Fungsi Pembangkit Momen (Moment Generating Function) Pada statistik jika kita ingin mengetahui distribusi dari suatu peubah acak kita bisa menggunakan mgf atau fungsi pembangkit momen. Selain itu kita juga bisa mencari ekspektasi dan variansi dari mgf ini. 1. Peubah acak diskrit Bisa dimengerti ya pada momen turunan pertama, kedua dan selanjutnya kenapa jadi dikali .. karena diturunkan terhadap .. eksponensial kan kalau diturunkan konstanta dari variabelnya jadi dikalikan terhadap eksponensialnya. Hal yang sama berlaku untuk peubah acak yang kontinu. 2. Peubah acak kontinu 3. Mengetahui Distribusi Suatu Data Dengan Limiting Distribution Menggunakan mgf Jika kita ingin mengetahui distribusi dari peubah acak selain dari melihat cdf peubah acak tersebut apa, kita dapat menggunakan mgf dengan cara limiting distribution... Untuk apa mengetahui distribusi suatu data? Untuk forecasting, untuk decision making atau untuk quality control. Misal terdapat barisan peubah acak dan kita cari nilai mgf nya: Setelah itu kita limitkan: Lalu kita cocokkan dengan tabel dibawah merupakan fungsi yang seperti apa agar kita bisa tahu dia berdistribusi apa. Tabel distribusi Peluang untuk Peubah Acak Diskrit Distribusi Tabel distribusi Peluang untuk Peubah Acak Kontinu Distribusi

Statistika Matematika Ekspektasi, Fungsi Pembangkit Momen dan Transformasi Peubah Acak

I. Peubah Acak dan Distribusi

Peubah acak misalkan merupakan fungsi yang memetakan setiap unsur dari sampel ke bilangan real. Misalkan peubah acak menyatakan banyaknya barang yang rusak, unsurnya itu barang yang rusak, tapi dinyatakan dalam bilangan real yaitu 1,7, atau 5 barang rusak.

Peubah acak dari sampel dapat digunakan dalam ilmu statistika untuk beragam hal, setelah mengetahui distribusinya untuk statistical quality control, decision making, prediksi. Dari hal seperti ini jika anda mau mempelajari lebih advanced akan sangat berguna contohnya untuk membuat dalam produksi pabrik dari 1 juta barang hanya 1 yang rusak.

1. Peubah Acak Diskrit
Peubah acak diskrit adalah peubah acak yang ruang sampelnya dapat dihitung dan terbatas. Misal barang rusak, angka dadu yang keluar, koin yang muncul. Semuanya kan terbatas, barang rusak terbatas pada banyak barang yang diproduksi saja, dadu terbatas hasilnya 1 sampai 6 saja.

Peubah acak diskrit memiliki fungsi massa peluang atau disebut pmf (probability mass function), pmf dari sebuah peubah acak adalah:

Maksudnya pmf adalah peluang bahwa peubah acak akan bernilai dengan D adalah himpunan kejadian yang mungkin.

Dan jika dijumlahkan peluang semua kejadian yang mungkin akan sama dengan 1:

Dan juga nilai peluang pmf selalu: 

Lalu yang dimaksud dengan fungsi distribusi atau cdf untuk peubah acak diskritadalah:

Dengan

2. Peubah Acak Kontinu
Peubah acak kontinu adalah peubah acak yang ruang sampelnya tidak dapat dihitung dan bisa sampai tak hingga kemungkinannya. Misal uang asuransi, waktu tunggu, ketinggian permukaan. Karena nilai dari sampel-sampel tersebut misal asuransi bisa saja $19312,323 akan terlalu banyak angka yang mungkin. Sampai banyaknya sampel bisa sampai tak hingga.

Peubah acak kontinu memiliki fungsi kepadatan peluang atau disebut pdf (probability density function). Pdf untuk peubah acak kontinu bentuknya adalah:  

Dapat dikatakan pdf dari peubah acak merupakan fungsi dari peubah acak tersebut. fungsi dari .

Dan yang perlu diingat bahwa sifat dari pdf itu sendiri adalah:

Jumlah peluangnya di semua range kejadian yang mungkin adalah 1 dan peluang di suatu interval lebih besar atau sama dengan nol.

Lalu yang dimaksud dengan fungsi distribusi atau cdf untuk peubah acak kontinu adalah: 

Contoh:
jika peubah acak menyatakan biaya kerusakan suatu rumah.. maka peluang bahwa dia rusak di antara $10,000 dan $50,000 adalah: 

Dengan pdf dari fungsi tersebut misal nya:

Tinggal kita substitusikan saja untuk mencari nilai peluangnya:

II. Transformasi Peubah Acak Kontinu (1 variabel)
Masalah transformasi peubah acak kontinu akan banyak dipakai pada matematika keuangan dan engineering. Misalkan sudah diketahui peubah acak pdf dan cdf nya, jika kita punya peubah acak yang merupakan fungsi dari , kita dapat mengetahui pdf dan cdf dari .

Guna mengetahui pdf dan cdf dari peubah acak bisa digunakan untuk prediksi, pengambilan keputusan, quality control.

Contohnya yang simpel begini: Jika kita sudah tahu distribusi temperature ruangan, lalu kelembaban adalah fungsi dari temperature, kita dapat mencari distribusi dari kelembaban.. dengan mengetahui distribusinya kita bisa memperkirakan kelembaban di bagian ruangan tertentu berapa.. untuk waktu kedepan bagaimana.. dari sini informasinya bisa jadi pertimbangan untuk langkah selanjutnya.. emang kelembaban bisa mempengaruhi keputusan apa? Ya kalau lembab ga baik untuk wanita.. bisa kemerahan..

Contoh 1:

Cara Biasa
Misalkan peubah acak memiliki cdf:

Misalkan ada peubah acak maka mencari cdfnya:

Untuk :

Sehingga cdf dapat dituliskan:

Dari cdf kita bisa turunkan untuk mendapatkan pdf nya:

Sehingga pdfnya dapat dituliskan sebagai berikut:

Cara Rumus Jacobian
Atau bisa juga mencari pdf dengan cara menggunakan rumus langsung yang ada Jacobian:

Dari cdf diatas untuk mencari pdf ( ) kita hanya perlu menurunkan yang mengandung variabel peubah acaknya saja:

Pada masalah transformasi ini peubah acak . Lalu mencari atau :

Liat perhatikan baik-baik itu dan ( ) sebenarnya sama saja tapi penggunaan notasi pada rumus itu menyebabkan kita harus menggunakan notasi yang tepat. Misal untuk notasi turunan tapi notasi tidak dipakai pada pdf yang dipakai adalah karena akan berbeda nanti fungsinya dengan ( ).
Substitusikan semua ke rumus:

Jika dibentuk model cdf nya, sama saja dengan dicari oleh cara pertama diatas yang lambat:

Contoh 2:
Cara Biasa
Misal peubah acak memiliki pdf:

Misalkan ada peubah acak

Sekarang tinggal mengintegralkan pdf untuk mendapatkan cdf :

Lalu diturunkan:

Pdf dari adalah:

Support untuk pdf adalah karena support pdf adalah dan sehingga jika supportnya dikuadratkan:

Ingat karena nilai sampai jika dikuadratkan nilainya sama dengan nilai dari 0 ke 1 dikuadratkan. Seperti fungsi jika ingat fungsi punya nilai minimum di sehingga suport untuk adalah .

Cara Rumus Jacobian
Atau bisa juga mencari pdf dengan cara menggunakan rumus langsung yang ada Jacobian:

Perhatikan karena ( ) merupakan fungsi yang bernilai konstan maka (√ ) hanya bernilai 1.

Jika dibentuk model pdf nya, sama saja dengan dicari oleh cara pertama diatas yang lambat:

III. Transformasi Peubah Acak Diskrit
Yang menyenangkan dari peubah acak diskrit mencari pmf untuk peubah acak transformasinya itu sangatlah mudah. Misalkan kita tertarik untuk mengetahui pmf dari peubah acak yang merupakan fungsi atau transformasi dari peubah acak .

Ada rumus cepatnya untuk dapat pmf dari :

Darimana rumus tersebut? perhatikan baik-baik: 

Contoh
Misalkan adalah peubah acak diskrit yang menyatakan lantunan koin sampai muncul gambar kepala. Kita ingin mengetahui pmf dari peubah acak yang menyatakan banyaknya lantunan sebelum muncul kepala.

Dengan pmf dari peubah acak :

Menyatakan bahwa peluang munculnya kepala pada lantunan ke adalah . / dengan

Transformasinya:

Lalu pmf dari :

IV. Ekspektasi Peubah Acak
Ekspektasi adalah nilai yang diharapkan. Bisa jadi rata-ratanya atau misal kita berinvestasi berapa ekspektasi return kita, atau profit kita. Kenapa perlu mempelajari cara mencari ekspektasi? Karena dari ekspektasi kita bisa mencari tahu data yang kita punya berdistribusi apa? Guna untuk membuat keputusan dan lain sebagainya.
1. Peubah Acak Diskrit

2. Peubah Acak Kontinu

Nilai dan diganti menjadi support  yang dalam bentuk fungsi di pdf nya.
Misal:

V. Fungsi Pembangkit Momen (Moment Generating Function)
Pada statistik jika kita ingin mengetahui distribusi dari suatu peubah acak kita bisa menggunakan mgf atau fungsi pembangkit momen. Selain itu kita juga bisa mencari ekspektasi dan variansi dari mgf ini.

1. Peubah acak diskrit

Bisa dimengerti ya pada momen turunan pertama, kedua dan selanjutnya kenapa jadi dikali .. karena diturunkan terhadap .. eksponensial kan kalau diturunkan konstanta dari variabelnya jadi dikalikan terhadap eksponensialnya. Hal yang sama berlaku untuk peubah acak yang kontinu.

2. Peubah acak kontinu

3. Mengetahui Distribusi Suatu Data Dengan Limiting Distribution Menggunakan mgf

Jika kita ingin mengetahui distribusi dari peubah acak selain dari melihat cdf peubah acak tersebut apa, kita dapat menggunakan mgf dengan cara limiting distribution... Untuk apa mengetahui distribusi suatu data? Untuk forecasting, untuk decision making atau untuk quality control.

Misal terdapat barisan peubah acak dan kita cari nilai mgf nya:

Setelah itu kita limitkan:  

Lalu kita cocokkan dengan tabel dibawah merupakan fungsi yang seperti apa agar kita bisa tahu dia berdistribusi apa.

Tabel distribusi Peluang untuk Peubah Acak Diskrit Distribusi

Tabel distribusi Peluang untuk Peubah Acak Kontinu Distribusi