teorema Nilai Mutlak

Teorema – Teorema Tentang Nilai Mutlak

Misalkan x adalah suatu bilangan rill, maka nilai mutlak dari x didefinisikan sebagai berikut :

Beberapa sifat pada nilai mutlak dari sebarang bilangan riil a :

1. |ab| = |a|.|b|
2. |-a| = |a|
3. |x2| = x2
4. Untuk c tak negatif, maka |x| < c jika dan hanya jika -c < x < c

Berikut beberapa teorema tentang nilai mutlak :

Teorema 1 :

Jika a, b € R dan b ≠ 0 maka

Bukti :

Misalkan

Teorema 2 :

Untuk sebarang a, b € R berlaku

Bukti :

Perhatikan,

sehingga menurut sifat 4 di atas,

dan

dengan menjumlahkan kedua ketaksamaan di atas diperoleh

Menurut sifat 4,

(ketaksamaan di atas sering disebut ketaksamaan segitiga)

Teorema 3 :

Bila a, b € R maka berlaku

Bukti :

Menurut ketaksamaan segitiga,

Contoh Soal :

1. Buktikan pernyataan berikut :

Jawab :

Perhatikan,

dan

Menurut Teorema 3,

Sehingga,

2. Buktikan bahwa jika k>0 dan |x – 3| < k, maka |x2 – 9| < k(k + 6).

Bukti :

Perhatikan,

Kemudian,